Vi segnalo questo articolo scritto dal nostro collaboratore Walter Caputo.
Capita molto frequentemente che i mass - media maltrattino la scienza: d’altronde i mezzi di informazione raramente si occupano di scienza e di conseguenza non sono preparati, cioè le redazioni non dispongono di giornalisti specializzati nella divulgazione scientifica. Gli effetti di una comunicazione distorta su grandi masse di popolazione possono essere molto gravi. Ciò in quanto la maggioranza delle persone non possiede neanche un minimo bagaglio di conoscenze scientifiche di base, e allora tende a comportarsi in maniera completamente irrazionale, mettendo così a rischio l’ordinata convivenza di una qualunque società.
Fortunatamente non tutti i mezzi di informazione sono uguali: ce ne sono alcuni che approfondiscono l’informazione, quando tutti gli altri la semplificano, la riducono, la spettacolarizzano e la costringono in un’unica direzione. Ci sono alcune fonti che mantengono prudenza su quanto affermano e sanno “pesare i numeri”: forniscono al lettore una serie di elementi affinché egli possa capire in maniera il più possibile equilibrata.
Fra le fonti serie, vorrei soprattutto citarne due:
- “L’influenza A è un business, le pandemie sono altre”, articolo – intervista al farmacologo Silvio Garattini, scritto da Roberta Rianna e pubblicato su “Epolis Torino” del 28 novembre 2009;
- “La pandemia è arrivata. Cosa dobbiamo aspettarci ?”, articolo di Gianfranco Bangone inserito in uno speciale sulla “nuova influenza”, pubblicato su “Darwin” di novembre / dicembre 2009.
La mia intenzione, in questo articolo, non è quella di stabilire il livello di gravità dell’influenza A, ma di estrarre dati e informazioni dalle fonti sopracitate, al fine di spiegare ai non esperti come sia possibile applicare semplici tecniche statistiche che consentano di valutare le cifre. Vorrei insomma dare ai lettori qualche utile e semplice strumento per “pesare i numeri”.
Posto che – come rileva giustamente Gianfranco Bangone - è comunque difficile distinguere i morti da influenza dagli altri (cioè da tutte le altre cause di morte), i decessi da influenza A “sono poco più di 90 (1), rispetto agli 8.000 all’anno della stagionale”. Queste sono le testuali parole di Silvio Garattini, secondo il quale i conti non tornano. Allora, se consideriamo che questi numeri provengono da “rilevazioni statistiche dove si confronta la mortalità nel periodo epidemico con quella dei mesi in cui l’influenza è assente” (parole testuali di Bangone), basandosi sull’idea che se tutte le cause di morte sono presenti e se ne aggiunge una (l’influenza), allora i morti in più sono dovuti alla causa aggiunta, quali considerazioni possiamo trarre ?
Possiamo innanzitutto calcolare i rapporti di composizione, vale a dire che è possibile confrontare una parte col tutto tramite semplici quozienti. Che cos’è il tutto? È il numero di decessi che si verificano in Italia in un anno: Garattini afferma che “in Italia muoiono ogni giorno 1600 persone”, dunque in un anno muoiono 584.000 italiani (= 1.600 x 365). Che cos’è una parte ? È il numero di decessi dovuti alla normale influenza, quella cosiddetta stagionale, cioè 8.000. Ora, a condizione che esista omogeneità fra i dati, ovvero che essi siano riferiti allo stesso tempo e allo stesso luogo (ad es. stesso anno e medesima zona geografica), possiamo calcolare il rapporto di composizione fra il numero di decessi per influenza stagionale e il numero complessivo di decessi (e poi moltiplicare il risultato per 100, al fine di avere un’informazione più facilmente valutabile): (8.000 / 584.000) x 100 = circa 1,37% (dato arrotondato). Ciò significa che ogni 100 morti, meno di 2 sono causate dall’influenza stagionale. Dunque non si tratta certo di un’epidemia, e men che meno di una pandemia.
Ma andiamo invece a calcolare il rapporto di composizione fra il numero di decessi per influenza A e il numero complessivo di decessi: (90 / 584.000) x 100 = circa 0,015%. Si tratta di un dato così esiguo che non si può neanche affermare che, ogni 100 morti, uno sia dovuto ad influenza A. Di conseguenza si tratta di un’incidenza assolutamente microscopica.
Tuttavia, se ancora non siamo convinti dei risultati sopra esposti, possiamo calcolare un rapporto di coesistenza, vale a dire che – sempre tramite un semplice quoziente – siamo in grado di valutare due fenomeni diversi che però si verificano nello stesso luogo e nello stesso tempo. Consideriamo quindi coesistenti l’influenza A e quella stagionale e ipotizziamo che non esistano – nello stesso periodo di tempo e nella stessa zona geografica – altre tipologie di influenza. Calcoliamo 8.000 / 90 e otteniamo circa 88,89. Ciò significa che, per ogni morto di influenza A, ci sono quasi 89 morti di influenza stagionale. Questo risultato conferma l’irrilevanza dell’influenza A rispetto a quella stagionale.
Alla domanda sui “morti in Germania dopo il vaccino” della giornalista Roberta Rianna, Garattini risponde: “Non c’è’ nessuna prova che i decessi siano collegati alla profilassi. In Italia, per esempio, muoiono ogni giorno 1.600 persone. È probabile che qualcuna abbia appena fatto il vaccino”. Giustamente, Garattini evidenzia la difficoltà di mettere in relazione, con certezza, una determinata causa con un determinato effetto. L’ignoranza completa dei metodi e delle tecniche statistiche, unita al desiderio di vendere copie anche quando notizie non ce ne sono, spinge molti quotidiani ad indicare, come spiegazione dei fenomeni presi in considerazione, cause che sono lontanissime dall’essere accertate e che forse non verranno mai accertate, per mancanza di dati rigorosi. La statistica è la scienza che trasforma i dati in informazioni, ma senza dati non è in grado di dire o predire alcunché.
Così, in merito all’ipotesi che il vaccino possa essere causa di morte, occorrerebbe impostare una funzione matematica del tipo Y = f(X), dove X è il regressore, cioè la causa (nel nostro caso il vaccino) ed Y è l’effetto, cioè la morte. Una volta individuata la relazione matematica, occorre vedere se, fra causa ed effetto esiste una relazione diretta, vale a dire se con l’incremento dei vaccinati aumentino i decessi. Ma ciò non è sufficiente, in quanto non basta qualunque incremento, occorre un incremento significativo, cioè una differenza sostanziale rispetto ai valori medi. In pratica a differenze positive rispetto alla media dei vaccinati devono corrispondere differenze positive rispetto alla media dei morti (la relazione diretta vale anche in caso di differenze negative sia per i vaccinati che per i morti). Ciò implica che Cov(X,Y)>0, vale a dire che la covarianza è positiva, nel senso che X e Y covariano positivamente (variano insieme nella stessa direzione). Se, infine, si è ipotizzata una relazione lineare (= una retta) fra X e Y, occorre rapportare – in un quoziente – Cov(X,Y) e (σX • σY ) cioè il prodotto degli scarti quadratici medi che, per intenderci, possiamo interpretare come il prodotto fra la variabilità dei vaccinati rispetto alla media (dei vaccinati) e la variabilità dei morti rispetto alla media (dei morti). Perché, in ultima analisi, non ci bastano incrementi significativi rispetto alla media, ci occorre anche vedere come siano distribuiti i dati intorno alla media, quindi quale sia il loro grado di variabilità. Esistono, in statistica, diversi misuratori della variabilità, fra i quali i più utilizzati sono soprattutto lo scarto quadratico medio e la varianza.
Il rapporto fra la covarianza e il prodotto degli scarti quadratici medi si chiama coefficiente di correlazione (lineare): solo se tale coefficiente risulta molto vicino ad 1 possiamo ritenere ragionevole la relazione diretta ipotizzata. E ciò vale solo se abbiamo utilizzato i dati dell’intera popolazione di riferimento, altrimenti – in caso di utilizzo di un campione – occorre vedere quanto sia rappresentativo della popolazione da cui è estratto ed applicare poi tecniche di inferenza statistica per poter dire qualcosa (che comunque non corrisponderà mai alla certezza) sulla popolazione a partire dal campione estratto.
Come se non bastasse, anche se ottenessimo un buon modello statistico, per utilizzarlo a fini previsivi, occorrerebbe che tutte le condizioni nel futuro si mantenessero identiche a quelle del periodo in cui abbiamo elaborato il modello. E ciò vale non solo per il modello “vaccinazione – morte”, ma anche per un modello “causa influenza A – morte”. Così, in modo corretto, Bangone scrive: “Cosa ci dobbiamo aspettare dalla nuova influenza A/H1N1v ? Rispondere non è affatto semplice perché i primi focolai con cui si presenta una pandemia non necessariamente sono indicativi di quello che avverrà più tardi quando arriverà l’onda di piena”.
(1) Nel frattempo i morti sono diventati 107.
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sabato 5 dicembre 2009
mercoledì 4 novembre 2009
NON PROBABILITA’ DI VITA EXTRATERRESTRE, MA SEMPLICI FREQUENZE BASATE SU STIME INCERTE
In occasione di molti eventi di divulgazione scientifica, soprattutto sul tema dell’astronomia, il pubblico mi ha posto domande sull’equazione di Frank Donald Drake. È successo anche il 17/10/2009 a Torino, al termine della conferenza divulgativa “Le risposte della scienza alle domande dell’astronomia”, durante la quale ho presentato la relazione: “Si fa presto a dire probabilità (di vita extraterrestre e di impatto asteroidale)”. La domanda classica mi viene più o meno formulata in questo modo: “Mi scusi, ma a parte il fatto che l’Universo è gigantesco, e non è ammissibile che una tale quantità di materia sia stata creata (o si sia creata) soltanto per noi, c’è poi l’evidenza dell’equazione di Drake, secondo la quale la probabilità di vita extraterrestre non è nulla”. Di fatto, costoro credono all’esistenza di vita extraterrestre: se la scienza non l’ha ancora trovata, è perché non ha cercato nei posti giusti oppure ancora non è dotata degli strumenti tecnologici necessari. Il grosso problema di fondo rimane lo stesso da millenni: la differenza fra scienza e fede. Chi ha fede crede senza bisogno di prove e continua comunque a credere; invece lo scienziato fa affidamento sulle teorie attuali, che sono assolutamente falsificabili in qualunque momento. Se domani qualcuno elabora una teoria che è più aderente ai dati osservativi rispetto a quella attuale, la vecchia teoria viene immediatamente gettata nel cestino. La scienza è quindi sempre provvisoria e sempre in evoluzione, ma ha la fondamentale caratteristica di basarsi sull’osservazione.
Ma in cosa consiste essenzialmente l’equazione di Drake ? Essa innanzitutto considera esclusivamente la nostra galassia, cioè la Via Lattea. Quante stelle esistono nella Via Lattea ? Questo è il dato di partenza. Poi si tiene conto del fatto che non tutte le stelle sono dotate di pianeti, quindi si stima la frazione di stelle che hanno sistemi planetari. Tale frazione, moltiplicata per il numero di stelle iniziali, necessariamente fornisce un risultato più piccolo del numero iniziale. Successivamente si considera che non tutti i pianeti sono adatti alla vita: si va quindi a moltiplicare la stima della frazione di pianeti adatti alla vita per il risultato ottenuto in precedenza (ottenendo così un risultato ancora più piccolo. Tale risultato, moltiplicato per una serie di frazioni minori di uno, è destinato a diventare sempre più piccolo). Naturalmente non è detto che la vita si sia sviluppata in tutti i pianeti che erano caratterizzati dalle condizioni più idonee, dunque – sempre moltiplicando per l’ultimo risultato ottenuto – si considera la frazione di pianeti adatti su cui ha avuto effettivamente origine la vita. Su questi ultimi pianeti non è certo che la vita si sia sviluppata a sufficienza: potrebbe essere rimasta a livello di batteri. Dunque occorre stimare la frazione di pianeti, adatti alla vita, sui cui ha avuto origine la vita, e sui quali si è sviluppata la vita “intelligente”. Ma ancora non basta, bisogna anche valutare la frazione di tali pianeti su cui sia emersa una civiltà tecnologica disposta a comunicare e poi stimare quale possa essere la durata di tali civiltà.
Il risultato dell’equazione è un numero: si tratta del numero di civiltà tecnologiche esistenti nella Via Lattea in un determinato momento. Tale numero risulta dalla moltiplicazione del numero di stelle della nostra Galassia per tutte le frazioni sopra richiamate.
L’equazione di Drake è stata equivocata da molte persone, che – appunto – ritengono che il risultato di tale algoritmo sia la probabilità di vita extraterrestre. Occorre dunque fare chiarezza, anche perché certi termini usati nel linguaggio comune appaiono simili, ma se andiamo ad esaminare da vicino la matematica e la statistica che ci sta dietro, scopriamo che si tratta di una cosa ben diversa da quella che pensavamo.
Innanzitutto, l’equazione di Drake non contiene probabilità, quindi il risultato non può essere una probabilità, ed abbiamo infatti detto che si tratta di un semplice numero. L’equazione contiene invece, oltre alla stima del numero di stelle della nostra Galassia, molte frequenze, ma le frequenze non hanno nulla a che vedere con le probabilità. Data una certa variabile, ad es. esito del lancio di una moneta, e considerate le due modalità che possono essere assunte dalla variabile (testa e croce), per frequenza si intende quante teste sono uscite su un determinato numero di lanci (o meglio prove, in linguaggio tecnico). Dunque frequenza è quante volte si è ripetuta una determinata modalità. Se abbiamo effettuato 10 lanci ed ottenuto 2 teste, la frequenza assoluta è 2, la frequenza relativa è 0,2 (= 2/10), la frequenza percentuale è 20% [= (2/10) x 100]. Secondo l’approccio frequentista alla probabilità, la frequenza diventa una buona approssimazione della probabilità solo quando il numero di prove (nel nostro caso di lanci) tende a più infinito. Solo in pochi casi è possibile ripetere un esperimento, nelle stesse condizioni, per un numero straordinariamente grande di volte (che, a sua volta, risulti un’accettabile approssimazione di più infinito). Si può fare con la moneta, non certo con i pianeti. Di conseguenza quelle contenute nell’equazione di Drake restano solo delle frequenze. È vero che ci sono molte frequenze (che prima abbiamo introdotto con il termine di “frazioni”), ma è anche vero che un prodotto di frequenze resta una frequenza. E una frequenza moltiplicata per un numero fa un numero, non certo una probabilità. Non fatevi ingannare dal fatto che le frequenze relative, per il modo in cui sono costruite (cioè come rapporto fra frequenze assolute e numero totale delle prove), risultano comprese fra zero e 1, esattamente come la probabilità, che è un numero che varia tra zero (= evento nullo) e 1 (= evento certo): quelle comprese nell’equazione di Drake sono soltanto frequenze relative.
C’è un altro problema importante che affligge l’equazione di Drake: le frequenze relative sono costituite dal rapporto fra un numeratore e un denominatore, entrambi assolutamente incerti. Facciamo un esempio. Se in un anno avete ricevuto 10 multe, potete ben affermare che la frequenza assoluta è 10, ma cosa potete dire sulla frequenza relativa ? Quante multe potevate prendere in 365 giorni ? La verità è che non avete idea di quante possano essere ed infatti siete nel giusto: non è possibile calcolare esattamente il numero massimo di multe che voi potete ricevere in un anno. Dovete accontentarvi di una semplice e incerta stima: ad esempio una multa al giorno, quindi 365 multe in un anno. Di conseguenza la frequenza relativa risulterà pari a 0,0274 (= 10/365. Il risultato è stato arrotondato). Le frequenze relative presenti nell’equazione di Drake sono ancora più incerte rispetto a quella relativa alle multe: infatti non si conosce con certezza né il numeratore (ad es. numero di pianeti adatti alla vita), né il denominatore (numero totale di pianeti). Mentre voi almeno conoscete con certezza quante multe avete ricevute in un anno, un astronomo che voglia calcolare la frequenza relativa dei pianeti adatti alla vita rispetto al numero totale dei pianeti, non conosce né quanti siano quelli adatti, né quanti siano in totale. Deve stimare entrambi i dati. Che ce ne facciamo allora di una stima ? Se vostro figlio domani deve andare a sostenere un esame universitario, voi potreste chiedergli al mattino: “Che voto pensi di prendere ?”. Se lui vi risponde così: “Bè, un voto compreso fra zero e 30”, cosa ve ne fate di tale informazione ? Vi ha detto che può pendere qualunque possibile voto, dunque potrebbe prendere meno di 18 e quindi non superare l’esame, oppure più di 18 e quindi superarlo, o addirittura potrebbe avere 30, quindi un risultato eccellente !!! In buona sostanza non vi ha detto nulla: infatti una stima caratterizzata da un ampio intervallo non vale niente, nel senso che non aggiunge alcuna informazione alla nostra conoscenza. Purtroppo le stime dei numeratori e dei denominatori delle frequenze relative contenute nell’equazione di Drake non sono caratterizzate da intervalli ristretti. Ciò implica che il risultato, cioè il numero delle civiltà tecnologiche esistenti nella nostra Galassia in un determinato momento, può essere un numero molto piccolo (anche zero) oppure molto, molto grande.
Spero di aver risolto, con questo articolo, i dubbi di molti, ma se qualcosa non vi è chiaro, non esitate a chiedere. Sarò lieto – nei limiti delle mie possibilità – di fornirvi ulteriori risposte.
di Walter Caputo
Ma in cosa consiste essenzialmente l’equazione di Drake ? Essa innanzitutto considera esclusivamente la nostra galassia, cioè la Via Lattea. Quante stelle esistono nella Via Lattea ? Questo è il dato di partenza. Poi si tiene conto del fatto che non tutte le stelle sono dotate di pianeti, quindi si stima la frazione di stelle che hanno sistemi planetari. Tale frazione, moltiplicata per il numero di stelle iniziali, necessariamente fornisce un risultato più piccolo del numero iniziale. Successivamente si considera che non tutti i pianeti sono adatti alla vita: si va quindi a moltiplicare la stima della frazione di pianeti adatti alla vita per il risultato ottenuto in precedenza (ottenendo così un risultato ancora più piccolo. Tale risultato, moltiplicato per una serie di frazioni minori di uno, è destinato a diventare sempre più piccolo). Naturalmente non è detto che la vita si sia sviluppata in tutti i pianeti che erano caratterizzati dalle condizioni più idonee, dunque – sempre moltiplicando per l’ultimo risultato ottenuto – si considera la frazione di pianeti adatti su cui ha avuto effettivamente origine la vita. Su questi ultimi pianeti non è certo che la vita si sia sviluppata a sufficienza: potrebbe essere rimasta a livello di batteri. Dunque occorre stimare la frazione di pianeti, adatti alla vita, sui cui ha avuto origine la vita, e sui quali si è sviluppata la vita “intelligente”. Ma ancora non basta, bisogna anche valutare la frazione di tali pianeti su cui sia emersa una civiltà tecnologica disposta a comunicare e poi stimare quale possa essere la durata di tali civiltà.
Il risultato dell’equazione è un numero: si tratta del numero di civiltà tecnologiche esistenti nella Via Lattea in un determinato momento. Tale numero risulta dalla moltiplicazione del numero di stelle della nostra Galassia per tutte le frazioni sopra richiamate.
L’equazione di Drake è stata equivocata da molte persone, che – appunto – ritengono che il risultato di tale algoritmo sia la probabilità di vita extraterrestre. Occorre dunque fare chiarezza, anche perché certi termini usati nel linguaggio comune appaiono simili, ma se andiamo ad esaminare da vicino la matematica e la statistica che ci sta dietro, scopriamo che si tratta di una cosa ben diversa da quella che pensavamo.
Innanzitutto, l’equazione di Drake non contiene probabilità, quindi il risultato non può essere una probabilità, ed abbiamo infatti detto che si tratta di un semplice numero. L’equazione contiene invece, oltre alla stima del numero di stelle della nostra Galassia, molte frequenze, ma le frequenze non hanno nulla a che vedere con le probabilità. Data una certa variabile, ad es. esito del lancio di una moneta, e considerate le due modalità che possono essere assunte dalla variabile (testa e croce), per frequenza si intende quante teste sono uscite su un determinato numero di lanci (o meglio prove, in linguaggio tecnico). Dunque frequenza è quante volte si è ripetuta una determinata modalità. Se abbiamo effettuato 10 lanci ed ottenuto 2 teste, la frequenza assoluta è 2, la frequenza relativa è 0,2 (= 2/10), la frequenza percentuale è 20% [= (2/10) x 100]. Secondo l’approccio frequentista alla probabilità, la frequenza diventa una buona approssimazione della probabilità solo quando il numero di prove (nel nostro caso di lanci) tende a più infinito. Solo in pochi casi è possibile ripetere un esperimento, nelle stesse condizioni, per un numero straordinariamente grande di volte (che, a sua volta, risulti un’accettabile approssimazione di più infinito). Si può fare con la moneta, non certo con i pianeti. Di conseguenza quelle contenute nell’equazione di Drake restano solo delle frequenze. È vero che ci sono molte frequenze (che prima abbiamo introdotto con il termine di “frazioni”), ma è anche vero che un prodotto di frequenze resta una frequenza. E una frequenza moltiplicata per un numero fa un numero, non certo una probabilità. Non fatevi ingannare dal fatto che le frequenze relative, per il modo in cui sono costruite (cioè come rapporto fra frequenze assolute e numero totale delle prove), risultano comprese fra zero e 1, esattamente come la probabilità, che è un numero che varia tra zero (= evento nullo) e 1 (= evento certo): quelle comprese nell’equazione di Drake sono soltanto frequenze relative.
C’è un altro problema importante che affligge l’equazione di Drake: le frequenze relative sono costituite dal rapporto fra un numeratore e un denominatore, entrambi assolutamente incerti. Facciamo un esempio. Se in un anno avete ricevuto 10 multe, potete ben affermare che la frequenza assoluta è 10, ma cosa potete dire sulla frequenza relativa ? Quante multe potevate prendere in 365 giorni ? La verità è che non avete idea di quante possano essere ed infatti siete nel giusto: non è possibile calcolare esattamente il numero massimo di multe che voi potete ricevere in un anno. Dovete accontentarvi di una semplice e incerta stima: ad esempio una multa al giorno, quindi 365 multe in un anno. Di conseguenza la frequenza relativa risulterà pari a 0,0274 (= 10/365. Il risultato è stato arrotondato). Le frequenze relative presenti nell’equazione di Drake sono ancora più incerte rispetto a quella relativa alle multe: infatti non si conosce con certezza né il numeratore (ad es. numero di pianeti adatti alla vita), né il denominatore (numero totale di pianeti). Mentre voi almeno conoscete con certezza quante multe avete ricevute in un anno, un astronomo che voglia calcolare la frequenza relativa dei pianeti adatti alla vita rispetto al numero totale dei pianeti, non conosce né quanti siano quelli adatti, né quanti siano in totale. Deve stimare entrambi i dati. Che ce ne facciamo allora di una stima ? Se vostro figlio domani deve andare a sostenere un esame universitario, voi potreste chiedergli al mattino: “Che voto pensi di prendere ?”. Se lui vi risponde così: “Bè, un voto compreso fra zero e 30”, cosa ve ne fate di tale informazione ? Vi ha detto che può pendere qualunque possibile voto, dunque potrebbe prendere meno di 18 e quindi non superare l’esame, oppure più di 18 e quindi superarlo, o addirittura potrebbe avere 30, quindi un risultato eccellente !!! In buona sostanza non vi ha detto nulla: infatti una stima caratterizzata da un ampio intervallo non vale niente, nel senso che non aggiunge alcuna informazione alla nostra conoscenza. Purtroppo le stime dei numeratori e dei denominatori delle frequenze relative contenute nell’equazione di Drake non sono caratterizzate da intervalli ristretti. Ciò implica che il risultato, cioè il numero delle civiltà tecnologiche esistenti nella nostra Galassia in un determinato momento, può essere un numero molto piccolo (anche zero) oppure molto, molto grande.
Spero di aver risolto, con questo articolo, i dubbi di molti, ma se qualcosa non vi è chiaro, non esitate a chiedere. Sarò lieto – nei limiti delle mie possibilità – di fornirvi ulteriori risposte.
di Walter Caputo
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